Software-Beschreibung und Quellcode
Primzahlen einmal anders, Teil 1 (aktuelle Seite)
Primzahlen einmal anders, Teil 2
Primzahlen einmal anders,
Teil 3
Ein verrückter Gedanke
Es ist schon lange her, als ich langweilige Schulstunden heimlich dadurch zu verkürzen suchte, indem ich die Zahlen von eins aufwärts in eine horizontale Reihe schrieb und nach immer der gleichen Anzahl von Zahlen (zum Beispiel 30) in eine neue Zeile wechselte. Wenn ich alle Primzahlen in dieser "Matrix" markierte, so mein Gedankengang, könnte es vielleicht geschehen, dass diese bei einer ganz bestimmten Umbruchzahl irgend ein regelmäßiges Muster bildeten und ich damit ein Bildungsgesetz für Primzahlen gefunden hätte, also eine Formel, mit der man Primzahlen erkennen und berechnen kann. Solch eine Formel suchen Mathematiker nämlich bis heute vergebens. Natürlich war mir kein Erfolg vergönnt, nicht zuletzt, weil es ohne die Hilfe eines Computers nahezu unmöglich ist, solch eine Arbeit in überschaubarer Zeit zu bewältigen - und Computer, wie wir sie heute kennen, gab es damals leider noch nicht. Doch auch mit Computer wird man auf diese Weise keine Lösung finden - vielleicht, weil es ganz einfach keine Lösung gibt.
Vor einigen Jahren habe ich trotzdem begonnen, mein unvollendetes, heimliches Schul-Experiment aus Nostalgie-Gründen mit einem Computer zu wiederholen. Eine Primzahlformel habe ich dabei zwar nicht enteckt, aber einige interessante Zusammenhänge, die ich Ihnen nicht vorenthalten möchte. Mit dem hier beschriebenen VB-Programm können Sie alle im Folgenden gezeigten Schritte bequem nachvollziehen. Ziel dieses Kapitels ist es, zu zeigen, dass sich mit Primzahlen, je nachdem, wie man sie in Beziehung zueinander setzt, interessante Muster erzeugen lassen. Ob diese Muster zur Erforschung der Primzahlen verwendet werden können, ist fraglich, aber vielleicht inspirieren sie den einen oder anderen Leser zu neuen Gedankengängen.
30 - eine "magische" Zahl?
Mit meinem selbstgemachten Primzahlmarkierungsprogramm stellte ich schon bald fest, dass es Umbruchszahlen wie zum Beispiel 6 oder Vielfache von 6 gibt, bei denen sich alle Primzahlen auf festen Spalten befanden.
Die Kästchen im Bild links repräsentieren die horizontal eingetragenen Zahlen von 1 aufwärts. Das erste Kästchen in der zweiten Reihe entspricht daher der Zahl 31. Alle Primzahlen sind rot markiert. Es fällt auf, dass sich alle roten Markierungen auf senkrechten Linien befinden. Wären diese Linien durchgezogen, so wäre es einfach, eine Primzahl vorher zu sagen. Leider befinden sich völlig unregelmäßige Lücken in diesen Linien. Bei diesen Lücken handelt es sich um Primfaktoren, also um Produkte aus Primzahlen. Beim ersten Primfaktor handelt es sich um die Zahl 49, das Produkt aus den beiden Primzahlen 7. Tatsächlich gibt es in der zweiten Zeile der Matrix eine Lücke, die sich, wenn Sie nachzählen, genau bei der Zahl 49 befindet.
Die nächste Lücke erscheint beim Produkt 7 * 11 = 77 und 7 * 13 = 91. Zählen Sie nach! Ganz nebenbei: Die scheinbar unregelmäßig aussehenden Lücken sind, wenn man sie in senkrechter Richtung analysiert, übrigens eine Überlagerung aus Einzel-Lücken im Abstand der Primzahlen 7, 11, 13 usw., doch auch diese Erkenntnis hilft uns nicht weiter.
Ähnliche Muster erhält man übrigens auch bei Umbruchszahlen, die anderen Vielfachen der Zahl 6 entsprechen, doch nur bei der Zahl 30 befinden sich auf den senkrechten Linien entweder Primzahlen oder Primfaktoren. Wählt man zum Beispiel die Zahl 6 als Umbruchszahl, so enthalten die senkrechten Linien, auf denen sich die Primzahlen befinden, nicht nur zusätzliche Primfaktoren, sondern auch Zahlen, die mit 5 enden und damit durch 5 teilbar sind. Dasselbe gilt auch für die Umbruchszahl 12 (Bild links).
Wählt man die Zahl 30 als Umbruchszahl, so fällt noch etwas auf: Die Linien sind symmetrisch zu Zahl 15 angeordnet: Geht man von der 15 um zwei nach rechts, erhält man die 17. Zwei Schritte nach links führen zur 13. Interessanterweise muss man die Schrittweite jedes Mal verdoppeln, um zur nächsten rechten oder linken Primzahl zu gelangen, wenn man von 15 ausgeht.
Man kann daher schreiben:
Alle Zahlen der Form 2^n ([2 "hoch" n] für n = ganze positive Zahlen), die man zur Zahl 15 hinzuzählt oder von der Zahl 15 subtrahiert, führen zu Zahlen, die zwangsweise entweder eine Primzahl oder ein Primfaktor sind. Anhand der obigen Grafik ist unschwer zu erkennen, dass dies nicht nur für die Zahl 15, sondern für alle Zahlen der Form m * 30 + 15 gilt, also 15, 45, 75, 105 und so weiter, wobei es sich bei m um ganze Zahlen handelt, die bei 0 beginnen.
Dies funktioniert sogar für Exponenten, die so groß sind, dass die hinzu addierte oder die subtrahierte Zahl größer als 15 ist. Rechnen Sie nach:
45 - 2^4 = 45 - 16 = 29 noch ein Beispiel?
15 + 2^5 = 15 + 32 = 47
Wir können daher behaupten: Alle Zahlen, die der folgenden Bedingung genügen, sind entweder Primzahlen oder Primfaktoren:
(m * 30 + 15) + 2^n
und
(m * 30 + 15) - 2^n
für n = 1 bis unendlich und m = 0 bis unendlich (Vermutung)
Wäre es möglich, auf diese Weise dem Geheimnis der Primzahlverteilung auf die Spur zu kommen? Vielleicht zielen ganz bestimmte Exponenten immer auf Primzahlen, und andere immer auf Primfaktoren? Wäre dies der Fall, so ergäbe sich eine einfache Formel zur Berechnung beliebig hoher Primzahlen. Mein auf dieser Webseite vorgestelltes Primzahlprogramm hat gezeigt, dass zwischen den Exponenten und der Verteilung der Primzahlen kein direkt erkennbarer, regelmäßiger Zusammenhang besteht. Dennoch ein interessanter Ansatz, denn Zweierpotenzen spielen in Mathematik und Physik eine wichtige Rolle.
Aus obigen Überlegungen ergibt sich folgende Erkenntnis:
Wenn man das Zahlenraster der Primzahlen unter 30 (1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) endlos aneinanderreiht (31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59...) erhält man ein periodisches Zahlenmuster, auf dem sich entweder Primzahlen oder Primfaktoren befinden. Es gibt keine Primzahlen, die nicht auf diesem Muster liegen. Ist eine Zahl keine Primzahl oder kein Produkt aus Primzahlen, so befindet sie sich auch nicht auf diesem Muster. Einer Zahl, die auf diesem Muster liegt, ist jedoch nicht anzusehen, ob sie eine Primzahl oder ein Primfaktor ist.
Dies könnte man jedoch durch folgende geometrische oder arithmetische Operation ermitteln: Aus dem ersten Raster (7,11,13 ... 31, 37 usw) erzeugt man ein zweites Raster, in welchem alle Zahlen des ersten Rasters mit der ersten Primzahl, also 7, multipliziert wurden: 7, 49, 77 usw). Nun erzeugt man ein drittes Raster, in welchem alle Zahlen der ersten Rasters mit der zweiten Primzahl multipliziert wurden: 11, 77, 121, 143...) und so weiter, bis man irgendwann eine genügend hohe Anzahl von Rastern besitzt, um den zu untersuchenden Zahlenbereich lückenlos abzudecken. Legt man nun all diese Raster übereinander (man könnte sie sich als durchsichtige Folien mit Markierungen vorstellen), so bleiben genau die Primzahlen auf dem ersten Raster übrig, da sie nicht durch Markierungen auf den folgenden Rastern bedeckt wurden (siehe folgende Zeichnung). Alles in allem ein in der Praxis kaum durchführbarer Ansatz, der uns jedoch deutlich zeigt, wie komplex die Primzahlen miteinander verwoben sind. Man könnte sogar von Selbstähnlichkeit sprechen, wenn man bedenkt, dass es sich bei den erwähnten Rastern immer wieder um das gleiche Muster in einer jeweils anderen Dehnung handelt. Das Bild unten zeigt, worum es geht:
Das Bild soll die obigen Aussagen noch einmal verdeutlichen: Die oberste Reihe zeigt die Primzahlen bis 30. Nehmen wir an, alle Zahlen bis auf die Primzahlen seien als durchsichtige Felder auf einer Folie angebracht. Die Stellen, an denen sich Primzahlen befinden, seien undurchsichtig.
Nun dehnen wir diese Folie (rein mathematisch und in Gedanken) um den Faktor 7, so dass die schwarzen Linien nun bei den Zahlen 49, 77, 91 usw. erscheinen.
In der dritten Zeile sehen wir immer die gleichen Folien aller Primzahlen von 1 bis 30 beliebig oft aneinandergereiht.
Auf diesen Folien sollen alle Primzahlen und Primfaktoren weiß (durchsichtig) und alle anderen Zahlen schwarz sein. Die Aneinanderreihung zeigt sowohl Primzahlen (11, 13 usw) als auch Primfaktoren (49), so dass wir aus dieser Anordnung nicht ersehen können, bei welchen Zahlen es sich um Primzahlen handelt. Legen wir jedoch die gestreckte Folie aus Reihe 2 darüber, so werden alle zuvor weiß dargestellten Primfaktor-Zahlen durch schwarze Balken abgedeckt, so dass es sich bei den verbliebenen, weißen Balken wirklich um die reinen Primzahlen handelt.
Zur Darstellung aller Primzahlen unter 100 genügt wirklich nur eine um den Faktor 7 gedehnte "Folie". Wenn wir alle Primzahlen auf diese Weise darstellen möchten, benötigen unendlich viele gedehnte Folien zur Abdeckung. Daher kann man sagen:
Bei den Primzahlen handelt es sich um eine unendliche Anneinanderreihung des Primzahlenmusters von 1 bis 30, bei der die durch die Elemente der Reihe gebildeten Produkte ausgeschlossen werden. Diese Aussage kann man sich zunutze machen, wenn es zum Beispiel gilt, ganz schnell eine Primzahl unter 100 aufzusagen. Statt die Reihe auswendig zu lernen, nehmen Sie die Zahl 0, 30, 60 oder 90 und addieren eine Primzahl unter 30 dazu, also z.B. die 7. So erhalten Sie ganz schnell die Zahlen 7, 47, 67 oder 97. Sie müssen sich nur 3 Ausnahmen merken: 49, 77 und 91 sind keine Primzahlen, sondern Primfaktoren.
Wie müsste eine Primzahlformel beschaffen sein?
Der Ansatz, zu den Vielfachen von 30 die Zahl 15 zu addieren und dann Zweierpotenzen zu subtrahieren und zu addieren, ist insofern bemerkenswert, als er die Primzahlen selbst generiert. Alles, was bekannt sein muss, sind die beiden Zahlen 30 und 15. Alle anderen, kompliziert erscheinenden Zahlen wie z.B. 17, 19, 23 usw. werden durch ganz einfache, klare Rechenregeln aus diesen Zahlen erzeugt. Es müssen also zuvor keine Primzahlen bekannt sein, um weitere Primzahlen zu berechnen. Leider erzeugt der betreffende Algorithmus, wie wir gesehen haben, auch Primfaktoren, so dass er kein Bildungsgesetz für Primzahlen darstellt. Das nachträgliche Ausstreichen von Primfaktoren aus der erzeugten Liste hilft zwar, die echten Primzahlen zu finden, aber es handelt sich hier nicht um ein mathematisches Bildungsgesetz. Gesucht ist eine Formel, die direkt und ausschließlich Primzahlen und keine Primfaktoren generiert.