Software-Beschreibung und Quellcode
Primzahlen einmal anders - Teil 1
Primzahlen einmal anders - Teil 2 (aktuelle Seite)
Primzahlen einmal anders - Teil 3
Prytes
Doch damit sind die Möglichkeiten der "verrückten" Dinge, die sich mit Primzahlen anstellen lassen, noch lange nicht erschöpft. Was halten Sie zum Beispiel von der Idee, die Positionen in jedem Dreißiger Abschnitt, die von einer Primzahl besetzt sein kann, als Bit zu interpretieren? Da es sich um genau 8 Primzahlen handelt, bietet sich diese Möglichkeit geradezu an. So könnte man zum Beispiel eine 1 notieren, wenn es sich bei einer Zahl um eine Primzahl handelt, und eine 0, wenn sie sich als Primfaktor entpuppt. Für die ersten 4 Zeilen (bei einem Umbruch von 30) würde das Bitmuster dann wie folgt aussehen:
11111111
11111011
11110111
01111110 ... usw.
Die Null in Zeile 2 ergibt sich aus der Tatsache, dass es sich bei der Zahl 49 um einen Primfaktor handelt.
Nun gehen wir einen Schritt weiter und verwandeln diese aus 8 Bit bestehende Zahl in ihren numerischen Wert:
00000000 zum Beispiel wäre also Null, und 11111111 entspräche dem Wert 255. Eine aus 8 Bit bestehende Zahl nennt man Byte.
Da es sich hier um Primzahlen handelt, wollen wir diese aus Primzahlen abgeleiteten Bytes im Folgenden als Prytes bezeichnen. Die numerischen Werte der Prytes (0 bis 255) sind wie geschaffen dafür, in Grauwerte mit 255 Abstufungen umgewandelt zu werden. Im folgenden Bild entspricht jedes kleine, graue Rechteck (das man bis zu einem Pixel schrumpfen kann) einer Zeile aus dem bereits bekannten, oben dargestellten Umbruch-Schema. Auch diese Grauwerte (Prytes) lassen sich wiederum umbrechen, was sozusagen ein Umbruch höherer Ordnung darstellen würde. Dazu werden jedoch acht mal mehr Primzahlen benötigt als vorher, weil nun 8 Primzahlen notwendig sind, um ein "Kästchen" darzustellen. Doch auch hier haben alle bisherigen Experimente gezeigt, dass, ganz gleich, welche Umbruchzahl man wählt, keine regelmäßigen Muster entstehen, obwohl uns unsere Phantasie beim Betrachten der grauen Flächen gelegentlich Gesichter oder Figuren vortäuscht - ein Effekt, der auch als Pareidolie bezeichnet wird.
Bei bestimmten Umbruchszahlen erscheinen schwach angedeutete, parallele Längs- oder Diagonalstreifen, die darauf hindeuten, dass auch hier periodische Lücken auftreten. Dies hängt damit zusammen, dass es sich bei den Primzahl-Lücken um Überlagerungen von periodischen Lücken in unterschiedlichen Abständen von Primzahlen handelt. So wie bei der Überlagerungen von Sinuswellen verschiedener Frequenz gibt es auch in diesem Falle periodisch auftretende Stellen (gemeinsame Vielfache), an denen sich die Lücken häufen.
Natürlich ist es auch möglich, die Verteilungskurve der Prytes grafisch darzustellen: Welche binären Zahlen treten am häufigsten - und welche am seltensten auf?
Das Bild oben zeigt, dass Prytes mit dem Wert 0 am häufigsten, und Prytes mit dem Wert 255 am seltensten vorkommen. Auch zwischen diesen Extremwerten gibt es periodische Häufigkeitsverteilungen, die jedoch einfach nur besagen, dass bestimmte Kombinationen aus Einsen und Nullen (Primzahlen und Primfaktoren) häufiger vorkommen, als andere.
Umbruch Überlagerungen
Mit dem hier beschriebenen Programm kann man beliebige Umbruchzahlen einstellen. Nach dem Anklicken eines Buttons wird der Bildschirm gelöscht und das neue Umbruchmuster wird gezeichnet. Was geschieht jedoch, wenn man den Bildschirm nicht löscht, sondern das neue Muster über das Alte zeichnet und dabei die Umbruchzahl von 1 Schritt für Schritt auf einen Wert von mehreren Hundert erhöht? Auch dies kann mit dem vorliegenden Programm leicht ausprobiert werden: Das Ergebnis ist ein merkwürdiges Muster, in welchem es Kästchen gibt,die, ganz gleich um welche Umbruchzahl es sich handelt, nicht überschrieben werden. Auch in diesem Falle kann man sich wieder vorstellen, dass die Ergebnisse bei verschiedenen Umbruchzahlen auf Transparentfolie gedruckt und übereinander gelegt werden. Dabei gibt es verschiedene Punkte, die auffallen:
Das Muster ist symmetrisch zur Bilddiagonale, die von links oben nach rechts unten verläuft. Es treten periodisch erscheinende Schachbrettmuster aus 5 mal 5 Elementen auf, die sich jedoch durch unterschiedliche "Störungen" voneinander unterschieden. Die "Schachbrett-Inseln" sind wiederum durch unregelmäßig unterbrochene Linien getrennt. Lässt sich anhand dieses Musters eine Aussage über Verteilung der Primzahlen machen? Ich habe diesen Weg bisher noch nicht weiter verfolgt, aber vielleicht hat ein Leser dieser Seite ja eine weiterführende Idee?